Sistemas Numéricos

Introdução

Sistema numérico decimal

Sistema numérico binário

Sistema numérico hexadecimal

Conclusão

Introdução

É sempre difícil às pessoas, aceitarem coisas que diferem, em alguma coisa, do seu modo de pensar. Essa é, provavelmente, uma das razões pelas quais os sistemas numéricos diferentes do sistema decimal, ainda são difíceis de entender. No entanto, é necessário aceitar a realidade. O sistema numérico decimal que as pessoas usam no seu dia a dia, foi agora ultrapassado pelo sistema binário, que é usado pelos milhões de computadores de todo o mundo.

Todos os sistemas numéricos possuem uma base. No sistema numérico a base é 10, no sistema binário a base é 2 e, o sistema hexadecimal, tem base 16. O valor representado por cada algarismo no sistema, é determinado pela respectiva posição em relação aos outros algarismos que constituem o número. A soma dos valores representados por cada algarismo dá-nos o número completo. Os sistemas binário e hexadecimal interessam-nos sobremaneira neste livro. Além destes, iremos também abordar o sistema decimal, de modo a compará-lo com os outros dois sistemas. Apesar de o sistema decimal ser um assunto a que já estamos acostumados, iremos discuti-lo de modo a facilitar a compreensão dos outros sistemas.

B.1 Sistema numérico decimal

A designação de decimal para este sistema numérico, advém de usar a base 10 e usa os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. À posição de cada um destes algarismos dentro do número está associado um determinado valor. Assim, e caminhando da direita para a esquerda, o algarismo mais à direita, deve ser multiplicado por 1, o algarismo situado imediatamente à esquerda deste, é multiplicado por 10, o que vem a seguir por 100, etc.

Exemplo:

As operações de adição, subtracção, divisão e multiplicação no sistema numérico decimal, são realizadas da maneira que todos já conhecemos, portanto, não vamos abordar este assunto.

B.2 Sistema numérico binário

O sistema numérico binário, difere em vários aspectos do sistema decimal que é o que nós utilizamos na vida diária. Este sistema numérico é de base igual a 2 e só contém dois algarismos, que são ’1’ e ‘0’. O sistema numérico binário, é o usado nos computadores e nos microcontroladores, porque é, de longe, muito mais adequado ao processamento por parte destes dispositivos, que o sistema decimal. Normalmente, os números binários que iremos usar, contêm 8, 16, ou 32, dígitos binários, não sendo importante, no âmbito deste livro, discutir as razões. De momento, basta-nos aceitar que isto é assim.

Exemplo:

10011011 é um número binário com 8 dígitos

De modo a perceber a lógica dos números binários, vamos considerar um exemplo. Vamos imaginar uma pequena estante com quatro gavetas e, que precisamos de dizer a alguém, para nos trazer qualquer coisa que esteja numa dessas gavetas. Nada mais simples, iremos dizer, (gaveta) em baixo, do lado esquerdo e, a gaveta que pretendemos, fica claramente definida. Contudo, se quisermos dar a indicação sem usarmos instruções tais como esquerda, direita, por baixo, por cima, etc. , nesse caso temos um problema a resolver. Existem muitas soluções para isto, mas vamos escolher uma que seja prática e nos ajude! Vamos designar as linhas por A e as colunas por B. Se A=1, estamos a referir-nos às gavetas de cima e se A=0, estamos a escolher as gavetas em baixo (na linha de baixo). Do mesmo modo, se B=1 estamos a referir-nos às gavetas da esquerda (coluna da esquerda) e se B=0 às gavetas da direita (ver figura seguinte). Agora, só precisamos de escolher uma das quatro combinações possíveis: 00, 01, 10, 11. Este processo de designar individualmente cada gaveta, não é mais que uma representação numérica binária ou a conversão dos números decimais a que estamos habituados para a forma binária. Por outras palavras, referências tais como “primeiro, segundo, terceiro e quarto” são substituídas por “00, 01, 10 e 11”.

Aquilo que falta para nos familiarizarmos com a lógica que é usada no sistema numérico binário, é saber extrair um valor numérico decimal de uma série de zeros e uns e, claro, de uma maneira que nós possamos entender. Este procedimento é designado por conversão binário-decimal.

Exemplo:

Como se pode ver, a conversão de um número binário para um número decimal é feita, calculando a expressão do lado esquerdo. Consoante a sua posição no número, assim cada algarismo binário traz associado um determinado valor (peso), pelo qual ele vai ser multiplicado, finalmente, adicionando os resultados de todas estas multiplicações, obtemos o tal número decimal que nós já somos capazes de entender. Continuando, vamos agora supor que dentro de cada gaveta existem berlindes: 2 berlindes na primeira gaveta, 4 na segunda gaveta, 7 na terceira e 3 na quarta gaveta. Vamos agora dizer à pessoa que vai abrir as gavetas para usar a representação binária na resposta. Nestas circunstâncias, a pergunta pode ser esta: “Quantos berlindes há na gaveta 01?” e, a resposta, deve ser: “Na gaveta 01 existem 100 berlindes”. Deve notar-se que tanto a pergunta como a resposta são muito precisas, apesar de não estarmos a utilizar a linguagem normal. Deve notar-se também, que, para representarmos todos os números decimais de 0 a 3, apenas precisamos de dois símbolos binários e que, se quisermos números superiores a estes, temos que ir acrescentando mais dígitos binários. Para podermos representar todos os berlindes que estão em qualquer das gavetas, precisamos de 3 algarismo binários. Ou seja, para representarmos os decimais de 0 a 7, bastam-nos três símbolos binários, de 0 a 15, quatro, etc. Generalizando, o maior valor decimal, que pode ser representado por intermédio por um determinado número de símbolos binários, coincide com 2 elevado a um expoente igual ao número de símbolos binários utilizados, subtraído de uma unidade.

Exemplo:

Isto significa que é possível representar os números decimais de 0 a 15, apenas com 4 algarismos binários (incluem-se portanto os números ‘0’ e ‘15’), ou seja, 16 valores diferentes. As operações que se executam no sistema decimal, também podem ser executadas no sistema binário. Por razões de clareza e legibilidade, neste apêndice, só iremos abordar a adição e a subtracção.

As regras básicas aplicáveis à adição binária, são:

A adição é executada de tal modo que, são somados individualmente, os dígitos situados em posições idênticas, em ambos os números. Se ambos os dígitos forem zero, então, a soma é zero, se um deles for igual a ‘0’ e o outro for ‘1’, o resultado é ‘1’. A soma de ‘1’ com ‘1’ dá dois, mas em binário dá ‘0’ e ‘vai um’, este ‘1’ vai ter que ser adicionado ao resultado da soma dos dígitos binários situados imediatamente à esquerda dos anteriores.

Exemplo:

É possível verificar se o resultado está correcto, convertendo estes dois números binários para o sistema decimal e determinando nós, a soma. Ao fazer a conversão do primeiro número, nós obtemos o decimal 10, e o segundo número, depois de convertido dá 9, a soma correspondente será 19. Deste modo, provámos que o resultado está correcto. Pode, no entanto, surgirem problemas, se o resultado da soma for maior que o maior número binário representável, com o número de dígitos atribuídos. Neste caso, várias soluções podem ser adoptadas, uma das soluções é aumentar o número de posições atribuídas e que foi a seguida no exemplo anterior.

A subtracção, tal como a adição, obedece ao mesmo princípio. O resultado de subtrairmos dois zeros ou dois uns, é zero. Se quisermos subtrair ‘1’ a ‘0’, temos que pedir emprestado ‘1’ ao dígito binário imediatamente à esquerda no número.

Exemplo:

Para verificar o resultado, tal como fizemos para a adição, convertemos o subtraendo e o subtrator para decimal e, assim, obtemos respectivamente os números 10 e 9. A diferença dá 1, que foi o valor que obtivemos.

B.3 Sistema numérico hexadecimal

O sistema numérico hexadecimal, tem uma base igual a 16. Se a base é 16, vamos precisar de 16 símbolos diferentes para algarismos. No sistema hexadecimal, os algarismos são: “0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F”. As letras A, B, C, D, E e F correspondem respectivamente aos decimais 10, 11, 12, 13, 14 e 15. Escolhemos estes símbolos, afim de tornar a escrita dos números mais fácil. Tal como para o caso do sistema binário, também aqui, nós podemos determinar, através da mesma fórmula, qual o maior número decimal que é possível representar com um determinado número de algarismos hexadecimais.

Exemplo: Com dois algarismos hexadecimais

Geralmente, os números hexadecimais são escritos com um prefixo “$” ou “0x”, ou com o sufixo “h”, para realçar o sistema numérico que estamos a utilizar. Assim, o número hexadecimal A37E, pode ainda ser mais correctamente escrito como $A37E, 0xA37E ou A37Eh. Para traduzirmos um número hexadecimal para o sistema numérico binário, não é necessário executar qualquer cálculo mas, simplesmente, substituir cada algarismo do número pelos dígitos binários que o representam. Como o valor máximo representado por um algarismo no sistema hexadecimal é 15, isso significa que são precisos 4 dígitos binários, para cada algarismo hexadecimal.

Exemplo:

Se convertermos ambos os membros da identidade para o sistema numérico decimal, obtemos, em ambos os casos, o número decimal 228, o que comprova que não nos enganamos.

Para obter o equivalente decimal a um número hexadecimal, precisamos de multiplicar cada algarismo do número, por uma potência de 16, cujo expoente, deve corresponder à posição desse algarismo, no número hexadecimal. Em seguida, deve-se adicionar todos os resultados obtidos.

Exemplo:

A adição, também é executada, tal como nos dois exemplos precedentes.

Exemplo:

Quando adicionamos dois algarismos hexadecimais, se a respectiva soma for igual a 16, escrevemos ‘0’ na posição respectiva e adicionamos uma unidade á soma dos dois algarismos que se seguem. Quer dizer, se a soma dos dois algarismos for, por exemplo, 19 (19 = 16 +3) escrevemos ‘3’ nessa posição e, transferimos o ‘1’ para o algarismo imediatamente a seguir. Se verificarmos, a primeira parcela é o número 14891 e a segunda parcela da soma é 43457. A soma das duas parcelas é 58348, que coincide com o equivalente decimal do número hexadecimal $E3EC. A subtracção, também segue um processo idêntico ao dos dois outros sistemas. Se o algarismo do subtraendo for menor que o do subtrator, é necessário decrementar de uma unidade, o algarismo seguinte no subtraendo.

Exemplo:

Analisando o resultado, verificamos que o subtraendo e o subtrator, correspondem, respectivamente, aos decimais 11590 e 5970, a diferença é 5620, que é o número que obtemos se fizermos a conversão de $15F4, para o sistema numérico decimal.

Conclusão

 

O sistema numérico binário é ainda o mais utilizado, o decimal é o mais fácil de perceber e o hexadecimal situa-se entre estes dois sistemas. O sistema hexadecimal é fácil de memorizar e fácil de converter para o sistema binário, o que faz, com que seja, um dos mais importantes sistemas numéricos.