Produtos Notáveis

    Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.

(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²

(a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²

(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

    Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes.
Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.

Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.

1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

        ( a + b ).( a – b ) = a² – b²

 2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

        ( a + b )² = a² + 2ab +b²

 3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

        ( a – b )² = a² – 2ab + b²

   Existem muitas outras outras fórmulas:

   ( a + b ) ³ =  a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³

(a – b )³ =  a³ – 3 a²b + 3ab² – b³

   

Não freqüentemente usadas:

  

 

 

 

 

PRODUTOS NOTÁVEIS

 

É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:

 

Produtos notáveis

Exemplos

(a+b)2 = a2+2ab+b2

(x+3)2 = x2+6x+9

(a-b)2 = a2-2ab+b2

(x-3)2 = x2-6x+9

(a+b)(a-b) = a2-b2

(x+3)(x-3) = x2-9

(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab

(x+2)(x+3) = x2+5x+6

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

(x+2)3 = x3+6x2+12x+8

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

(x-2)3 = x3-6x2+12x-8

(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3

(x+2)(x2-2x+4) = x3+8

(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3

(x-2)(x2+2x+4) = x3-8

 

 

ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

 

1)     Desenvolva:

a)    (3x+y)2

(3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2

 

b)    ((1/2)+x2)2

((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4

 

c)     ((2x/3)+4y3)2

((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6

 

d)    (2x+3y)3

(2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3

 

e)     (x4+(1/x2))3

(x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6)

 

f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5))

((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2

 

2)     Efetue as multiplicações:

a)    (x-2)(x-3)

(x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6

 

b)    (x+5)(x-4)

(x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20

 

 

3)     Simplifique as expressões:

a) (x+y)2–x2-y2

(x+y)2–x2-y2  =  x2+2xy+y2–x2-y2   =  2xy

 

b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)

(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)  =  x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5)  =

x2-5x-14+ x2-2x-15  =  2x2-7x-29

 

c)     (2x-y)2-4x(x-y)

(2x-y)2-4x(x-y)  =  (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy  =  4x2-4xy+y2-4x2+4xy =  y2