Multiplicação e divisão de números fracionários

Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

 

EXPONENCIAIS
(Potenciação)

– Potenciação_ e_ Radiciação
Potências de base DEZ
Fatoração
Racionalização de frações
Resumo (fórmulas)
Exercícios Pot. e Rad.

BÁSICO

AVANÇADO

EXER

Para um melhor estudo deste capítulo (Exponenciais) iremos dividi-lo em 4 partes:

– Equações Exponenciais;
– Funções Exponenciais;
– Gráficos de Funções Exponenciais;
– Inequações Exponenciais.

Antes de começarmos a estudar as equações exponenciais propriamente ditas, devemos dar uma olhada nas principais propriedades de potenciação e radiciação. Começando com potenciação:

POTENCIAÇÃO


Para indicar que um número está elevado à uma potencia qualquer, colocamos esta potência como expoente. Veja o exemplo.

5 elevado à potência 4
54

Quando dizemos que um número qualquer está “elevado à potencia 4”, por exemplo, estamos dizendo que este número será multiplicado por ele mesmo 4 vezes. Vamos desenvolver o exemplo acima:

54=5·5·5·5=625

Veja mais exemplos:

29=2·2·2·2·2·2·2·2·2=512
33=3·3·3=27
82=8·8=64

Genéricamente podemos representar uma potência:

Xn

Onde chamamos “X” de base e “n” de “expoente” ou “potência”.
Agora vamos ver as principais Propriedades de potenciação.

a0=1

Esta é uma definição de potenciação, “a” é um número qualquer. Usamos isso para que outras coisas sejam explicadas na Matemática (vocês verão mais tarde).

a1=a

A potência 1 indica que devemos multiplicar “a” por ele mesmo 1 única vez. Portanto, é o próprio “a”.

1n=1

A potência “n” indica quantas vezes o número 1 será multiplicado por ele mesmo, e não interessa quantas vezes seja, sempre será 1.

0n=0

Idem ao de cima. Não interessa quantas vezes o zero seja multiplicado por ele mesmo, sempre será zero.

pot1.gif (994 bytes)

Esta também é uma definição. Sempre que tivermos um expoente negativo, este troca de numerador para denominador, ou seja, vai de cima da fração para de baixo da fração.
pot2.gif (992 bytes) A regra acima também vale ao contrário. Se tivermos uma potência negativa no denominador, este se transforma em numerador ao trocar o sinal da potência.

Estas são as principais propriedades de Potenciação. Agora vamos ver as propriedades operatórias, ou seja, como fazer operações com potências (multiplicação, divisão…).

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS


Vamos começar com a multiplicação. Por exemplo, se temos o número 54 multiplicado por 53,

54 *53 Esta é a operação que queremos efetuar. Vamos abrir a potência
(5*5*5*5)*(5*5*5) Agora veja que esta multiplicação é igual à 5 elevado na potência sete
54 *53=57 Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação de potências com mesma base.
Conserva-se a base e soma-se o expoente. Genéricamente temos:
Xa*Xb=Xa+b Esta é a regra, “X” pode ser qualquer número (real, imaginário…) que continua valendo. É muito importante entendê-la, pois é muito utilizada.

Agora vamos estudar a divisão de potências. Vamos fazer um exemplo, 126 divididos por 122 . Veja a tabela abaixo:

pot3.gif (989 bytes)

Esta é a divisão que queremos efetuar. Vamos novamente abrir a potência.

pot4.gif (1240 bytes)

Agora podemos cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração. Portanto podemos cortar dois números 12 de cima com dois números 12 de baixo.

pot5.gif (1295 bytes)

Cortando, temos:

12.12.12.12

Veja que esta multiplicação é igual à 124 , isto nos dá a regra para qualquer divisão de potências com mesma base. Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes. Genéricamente, temos:

pot6.gif (1074 bytes)

Novamente, “X” pode ser qualquer número (real, imaginário…) que a regra ainda vale. Estas são as duas regras mais utilizadas.

Já vimos as principais propriedades de operações.
Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma potência. Veja o exemplo:

(42)3

O que devemos fazer?
Vamos desenvolver este exemplo:

(42)3

Vamos abrir a potência de dentro do parênteses

(4.4)3

Agora a potência fora do parênteses diz que devemos multiplicar o que tem dentro do parênteses três vezes,

(4.4).(4.4).(4.4)

E isso nos dá a potência 46. E agora tiramos outra regra para potências.

(42)3 =42*3 =46

Generalizando, ficamos com:

(Xa)b=Xa*b

Até agora vimos multiplicação e divisão com termos de mesma base. E quando não tiver mesma base??? O que podemos fazer?

Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma base ou mesmo expoente. O que vamos ver agora é justamente o segundo caso: expoentes iguais.

Veja um exemplo:

65·95

Este é o exemplo. Agora vamos abrir as potências.

6·6·6·6·6·9·9·9·9·9

Qualquer multiplicação tem a propriedade de comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera. Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem.
6·9·6·9·6·9·6·9·6·9 Agora temos a multiplicação 6 · 9 aparecendo 5 vezes. Então

65 · 95=(6 · 9)5

E esta propriedade podemos aplicar para qualquer número. Generalizando:

Xa·Ya= (XY)a

Os números “X” e “Y” podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.

Esta propriedade acima também é verdade para uma divisão. Veja a tabela abaixo.

pot7.gif (958 bytes)

Este é o exemplo que iremos usar. Vamos abrir as potências.

pot8.gif (1187 bytes)

Como temos multiplicação em cima e em baixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra.

pot9.gif (1165 bytes)

E isto é a fração 8/5 elevado na potência 4.

pot7.gif (958 bytes)=pot10.gif (1029 bytes)

E esta propriedade pode se aplicar para quaisquer números do conjunto dos complexos. Generalizando,

pot11.gif (1157 bytes)

Os números “X” e “Y” podem ser quaisquer números do conjunto dos números complexos.

ATENÇÃO

Quando tivermos um número negativo elevado numa potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os exemplo:

(-5)2=(-5)·(-5)=+25

(-2)4=(-2)·(-2)·(-2)·(-2)=+16

Note, então, que quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como se fosse positivo, pois na multiplicação “menos com menos dá mais”:

(-5)2=52=25
(-2)4=24=16
Se “k” for PAR (-X)k=Xk

E se tivermos um expoente ímpar?

(-5)3=(-5)·(-5)·(-5)

Se pegarmos os dois primeiro números multiplicados, temos (-5)2=+25, substituindo ao lado:

(-5)3=25·(-5)=125

Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na resposta

PEGA-RATÃO

(-5)2 é totalmente diferente de -52 . No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao quadrado, então a resposta é +25. Já no segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5, portanto a resposta é -25.

Agora que já sabemos utilizar todas as propriedades de potenciação e radiciação, podemos começar o estudo de equações exponenciais.

Para termos uma equação devemos ter uma igualdade ou seja, alguma coisa igualada à outra.

E para ser equação exponencial devemos ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente X) colocada no expoente (potência). Para resolvê-las utilizamos métodos que se valem das propriedades que acabamos de estudar.

Não existe uma fórmula mágica para resolução de equações exponenciais, existe um objetivo a ser alcançado. Quando nos deparamos com uma equação exponencial devemos procurar um método de IGUALAR AS BASES de ambos os lados da igualdade. Isso mesmo, o objetivo é esse IGUALAR AS BASES. Veja abaixo vários exemplos resolvidos.

expo1.gif (1014 bytes)

Esta é a nossa equação exponencial. Temos uma igualdade e veja que sua variável (X) está como expoente do termo à esquerda desta igualdade.
Bom, o nosso objetivo é igualar as bases, vamos fatorar ambos os lados:

expo2.gif (1019 bytes)

O lado esquerdo já estava fatorado. Agora temos os dois lados com a mesma base. Chegamos ao objetivo. Agora devemos “CORTAR” as bases de ambos os lados.

expo3.gif (1051 bytes)

Pronto, com as bases “cortadas” mantemos os expoentes e calculamos uma equação do primeiro grau.

x=2

Esta é a solução!!

Vejam agora um exemplo um pouquinho mais difícil:

expo4.gif (1081 bytes)

O nosso objetivo é sempre o mesmo, igualar as bases. Vamos fatorar ambos os lados.

expo5.gif (1229 bytes)

Temos agora que utilizar as propriedade de potenciação

expo6.gif (1314 bytes)

Pronto, estamos com as bases iguais. Vamos cortar e resolver a equação do primeiro grau novamente.

2x-2=5

Aplicando as propriedades operatórias.

2x=5+2
2x=7
x=7/2

Esta é a solução

Vamos aumentar mais uma vez o nível.

expo7.gif (1238 bytes)

Novamente começamos fatorando.

expo8.gif (1351 bytes)

Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e radiciação.

expo9.gif (1483 bytes)

Com as bases iguais vamos operar os expoentes

expo10.gif (1767 bytes)

Esta é a nossa solução x=4

Mais um exemplo um pouco mais difícil.

expo11.gif (1102 bytes)

Este exemplo é um pouco mais difícil pois tem um expoento no expoente. Note que teremos que igualar as bases duas vezes. Preste atenção. Vamos fatorar

expo12.gif (1065 bytes)

Agora podemos cortar as bases. Sobram os expoentes.

expo13.gif (1029 bytes)

Temos outra equação exponencial. Novamente vamos fatorar e igualar as bases.

expo14.gif (1050 bytes)

Corta-se as bases.

x+1=2
x=2-1
x=1

Esta é a nossa solução, x=1

Novamente vamos aumentar a dificuldade:

expo15.gif (1097 bytes)

Como sempre, vamos fatorar.

expo16.gif (1288 bytes)

Vamos aplicar as propriedades operatórias de potenciação para multiplicação e divisão de mesma base.

expo17.gif (1592 bytes)

Pronto, objetivo alcançado. Cortando…

8x-7=x-3
8x-x=7-3
7x=4
x=4/7

Esta é a solução

Agora com mais raizes.

expo18.gif (1122 bytes)

Esta parece ser bem mais difícil, né?? Mas a dificuldade é a mesma, você precisa ter os mesmo conhecimentos para resolve-la. As bases já estão definidas, vai ser 2. O que devemos fazer é transformar o lado esquerdo em uma única raiz usando as propriedades de radiciação. Vamos primeiro trabalhar no 2 mais de dentro.

expo19.gif (1139 bytes)

Agora é só fazer a multiplicação de potências de mesma base.

expo20.gif (1376 bytes)

Uma raiz já foi. Vamos fazer a mesma coisa com as outras.

expo21.gif (1825 bytes)

Mais uma vez para matar a última raiz.

expo22.gif (999 bytes)

Bases iguais, corta-las…

expo23.gif (1223 bytes)

Agora é só operar e isolar “x”.

expo24.gif (1772 bytes)

Esta é a nossa solução.

Veja uma que precisa de bascara para resolver:

expo25.gif (958 bytes)

Precisamos igualar as bases mas nenhum dos lados da igualdade pode ser fatorado. Iremos usar uma propriedade que aprendemos na lição passada: qualquer número elevado na potência zero vale 1 (Xo=1). Então o lado direito da igualdade pode ser 3o.

expo26.gif (978 bytes)

Agora com as bases igualadas vamos corta-las.

x2-x-6=0

Agora é uma equação do segundo grau. Aplicando Báscara achamos suas raizes.

{-2 e 3}

Esta é a solução, “x” pode ser qualquer um destes valores.

Última agora

3·2x+3=192

A única diferença deste exemplo é que antes de fatorar para tentar igualar as bases temos que “passar” o três que está multiplicando para o lado direito dividindo.

2x+3=192/3

Efetuando o cálculo

2x+3=64

Agora sim!!! Fatoramos para igualar as bases.

2x+3=26

Cortando…

x+3=6
x=6-3
x=3

Esta é a nossa solução.